Monday, April 3, 2017

වර්ග සමීකරණයේ ජීවිත කතාව - 1 කොටස

වර්ගජ සමීකරණයක් යනු ax^2 + bx + c =0 ආකාරයේ සමීකරණයක් බව ඔබ දනී. මෙම සමීකරණයේ x ට විසඳුම පහත පලමු රූපයේ දැක්වෙන සූත්‍රය මගින් ලබා දෙන බව ඔබ දනී. මෙලෙස ඔබ සියලුදෙනා නිරතුරුව භාවිතා කරන මෙම සූත්‍රය පිටුපස සහශ්‍ර කිහිපයක ඉතිහාසයක් සැඟව ඇත.


අවු. 5000කට පෙර ඊජිප්තුවරුන් බැබිලෝනියන්වරුන් සහ චීන ජාතිකයන් ප්‍රථම වරට වර්ගජ සමීකරණ විසඳීමට දැරූ ප්‍රයත්නයේ සිට සහශ්‍ර 5ක් හරහා ගිය ගමනක අවසන් ප්‍රථිපලය ඔබ හමුවේ ඇති මේ සරල සූත්‍රයයි. 19 වන ශතවර්ෂයේ Saqqara නැමැති පැරණි ඊජිප්තියානු සුසාන භූමියේ සිට සොයාගත් ක්‍රි.පූ. 1300 - 1200 කාලයට අයත් වන බර්ලින් පැපිරසයේ පහත සදහන් ගණිත ප්‍රශ්නය නිරූපනය වේ.



සමචතුරස්‍ර බිම් කැබලි දෙකකින් වර්ග ඒකක 100ක වර්ගඵලයක් නිර්මාණය කිරීමට අවශ්‍යව ඇත. එක් සමචතුරස්‍රයක දිග අනෙක් සමචතුරස්‍රයේ දිග මෙන් 1/2 + 1/4 ක් වේ. සමචතුරස්‍ර දෙකේ එක් පැත්තක දිග වන්නේ කුමන අගයක්ද යන්න විසඳීමට උත්සහ දරා ඇත.

මෙම ප්‍රශ්නය පහත දැක්වෙන සමීකරණය ආශ්‍රයෙන් දැක්විය හැක. X^2 + Y^2 = 100 X = 3Y/4 වර්ගජ සමීකරණයක් විසඳීමට තැත් කල ලොව පලමු උත්සහය ලෙස මෙය සැලකේ. මෙලෙස වර්ගජ සමීකරණ ජීවිත කතාවේ මුල් පියවර පුරාණ ඊජිප්තුවන්ට හිමි විය.
මෙහි ඊළඟ ජවනිකාව රඟ දක්වන්නේ බැබිලෝනියානුවන් විසිනි. බැබිලෝනියන්වරුන්ට X^2 = 2 නැමැති වර්ග සමීකරණය විසඳීමට හැකියාව තිබූ බවට සාක්ෂි ඇත. බැබිලෝනියානු ශිෂ්ඨාචාරයට අයත් Yale Tablet නැමැති මැටි පුවරුවේ සඳහන් ඉඟිය පැහැදිලි සමචතුරස්‍රයක දක්නට ඇත.
Yale Tablet


 මෙම 1, 24, 51, 10 යන මිශ්‍ර සංඛ්‍යාව 60 පාදයෙන් ලියා ඇත.දැන් මෙම සංඛ්‍යාව සුපුරුදු 10 පාදයට හරවමු. එවිට,

 1 + 24/60  + 51/60×60  + 10/60×60×60   ලැබේ. දැන් මෙය සුළු කරන්න. එවිට 1.414212963 සංඛ්‍යාව ලැබේ. මෙම සංඛ්‍යාව මූල 2 බව පැහැදිලිය.

 මෙයින් පෙනී යන්නේ බැබිලෝනියන්වරුන් X^2 = 2 යන්න විසඳීමට දැන සිටි බවයි. බැබිලෝනියානු මැටි පුවරුවක පහත ප්‍රශ්නය හමුවේ. සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ගොවිපලක වර්ගඵලය වර්ග ඒකක 600 කි. එහි දිග සහ පළලේ එකතුව ඒකක 50 කි. මෙම ගොවිපලේ දිග හා පළල සොයන්න. මෙය නූතන සංඛේත වලින් ලියූ විට,
X^2 + 50x + 600= 0 වර්ග සමීකරණය ලැබේ. ඔවුන් එය වර්ගපූර්ණය කිරීමේ ක්‍රමයට විසඳන ලදි.

ක්‍රි.ව. 300 දී පමණ වර්ග සමීකරණ වලට ජ්‍යාමිතික ප්‍රවිශ්ඨයක් පයිතගරස් සහ ඉයුක්ලිඩ් විසින් දෙන ලදි. ඉයුක්ලිඩ්ගේ ජ්‍යාමිතික නිර්මාණයන් ඔහු සෙව්වේ X^2 + ax - a^2 =0 සමීකරණයට විසඳුමකි. මෙහි a යනු ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවකි. ඉයුක්ලිඩ්ට පසු වර්ග සමීකරණ ක්ෂේත්‍රයට සුවිශේෂී දායකත්වයක් දැක්වූ ග්‍රීක දාර්ශනිකයෙකු ලෙස අප දකින්නේ ක්‍රි.ව.210 ඇලෙක්සැන්ඩ්‍රියාවේ විසූ ඩයොෆොන්ටස් නැමැති ගණිතඥයාය. ඩයොෆොන්ටස් ප්‍රශ්න විසඳීමේදී යොදා ගත්තේ ධන හා පරිමේය විසඳුම් පමණි. ඔහු ඍණ හා "0" ගැන දැන සිටියේ නැත. ඔහු වර්ග සමීකරණ තුන් ආකාරයකට වර්ග කලේ ය.

ax^2 + bx = c

ax^2 = bx + c

ax^2 +c = bx

ඩයොෆොන්ටස් ඍණ විසඳුම් විකාර හෙවත් තේරුමක් නැති විසඳුම් ලෙස සැලකීය. වරක් ඔහු 4 = 4x +20 යන සමීකරණය විකාර සමීකරණයක් ලෙස පැවසීය. ඔහු වර්ග සමීකරණයකට විසඳුම් දෙකක් ඇති බව දැන සිටියේ නැත. ඩයොෆොන්ටස්ගේ ජීවිතය ගැන අප දන්නේ ඉතා ස්වල්පයකි. ඔහුගේ සොහොන් කොතෙහි අපූරු සිහිවටනයක් ඇත. එය ගණිත ගැටළුවකි. එම ගැටළුව විසඳූ විට ඔහුගේ ජීවිතයේ විශේෂ අවස්ථා කුමන වයසේ සිදු වුනි දැයි සෙවිය හැක.
ඩයෝෆොන්ටස්ගේ Arithmetica නම් ග්‍රන්ථය. 1621 දී මෙය ලතින් භාෂාවට පරිවර්තනය කලේ Claude Gaspard Bachet de Méziriac විසිනි. 


 පහත දැක්වෙන්නේ ඩයොෆොන්ටස්ගේ සොහොන් කොතෙහි සඳහන් ගණිත ගැටළුවයි. ඩයොෆොන්ටස් මියයන විට ඔහුගේ වයස ඔබට නිර්ණය කල හැකි ද?

 'Here lies Diophantus,' the wonder behold.

Through art algebraic, the stone tells how old:

'God gave him his boyhood one-sixth of his life,

One twelfth more as youth while whiskers grew rife;

And then yet one-seventh ere marriage begun;

In five years there came a bouncing new son.

Alas, the dear child of master and sage

After attaining half the measure of his father's life chill fate took him.

 After consoling his fate by the science of numbers for four years, he ended his life.'

මූලාශ්‍ර :

1) http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/the-best-known-old-babylonian-tablet

2) https://en.m.wikipedia.org/wiki/Diophantus

3) http://www.egyptian-museum-berlin.com/c54.php#q_papyrus_westcar_01.jpg

4) https://en.m.wikipedia.org/wiki/Berlin_Papyrus_6619

දැන් මේ ප්‍රශ්න වලටත් උත්තර දුන්නනන්....

1) මැග්සේසේ සම්මානය එපා කියූ ලාංකිකයා කව් ද? ඔහු එය ප්‍රතික්ෂේප කලේ ඇයි?

2) බයිබලයේ අලුත් ගිවිසුමේ සුභාරංචි පොත් අතරින් මුලින්ම ලියැවුනු සුභාරංචි පොත කුමක් ද?

3)ජේසුස්වහන්සේගේ ගෝලයන් 12 අතරින් උන්වහන්සේ පලමුවෙන්ම තෝරාගත් ගෝලයා කව් ද?


13 comments:

  1. Good Luck Machan, Please go through some well designed blogs and get ideas of best practiced layouts. The most important thing is the presentation. Add this site to several syndicators, specially add to the Mathalange syndiya which generates the best traffic to most of the blogs sites.

    ReplyDelete
  2. වටිනා ලිපියක් මිතිල. ඒත් සමීකරණ .... :0

    ජයවේවා!!!

    ReplyDelete
  3. ප්‍රශ්න අහල අනාත කරන්න එපා මිතිල , එල පෝස්ටුව ..

    ReplyDelete
  4. මිස් වෙලා තිබ්බෙ ද්වැනි එක කියවලයි මෙතන්ට ආඅවෙ

    ReplyDelete

දිනෙන් දින දියවී යන වව්නියාවේ කොක්එළිය ගම්මානය

වව්නියා නගරයෙන් තරමක් ඈත්ව පිහිටි ගම්මානයකි කොක්එළිය ගම්මානය. කොක්කු සිටි වෙල් එළිය පසු කාලීනව කොක්එළිය වී ඇත. අවට ගම්මාන අතුරින් ඇති එකම සි...